After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
Sau nhiều cuộc phiêu lưu ở Xứ Sở Thần Tiên Alice lại tiếp tục đi đến một tòa lâu đài của vị Nữ Hoàng Đỏ thất thường. Khi cô dự định băng qua khu vườn mà không bị phát hiện thì cô lại nghe được tiếng đức vua và hoàng hậu đang cãi nhau.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
Vị nữ hoàng nói rằng: “Nó rất đơn giản. 64 bằng 65, chỉ vậy thôi.”
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Alice bỗng nhiên xen vào mà không nghĩ ngợi gì. Cô nói rằng: “Vô lý“. “Nếu như 64 mà bằng 65 thì nó sẽ là 65 chứ không phải 64”.
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
Vị hoàng hậu liền tức giận: “Gì cơ? Sao nhà ngươi dám!” “Ta sẽ chứng minh nó ngay bây giờ và sẽ lấy đầu nhà ngươi!”
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Trước khi Alice có thể phản kháng thì cô đã bị lôi đến một mảnh vườn có hai họa tiết bàn cờ vua -- một là hình vuông 8x8 và một là hình chữ nhật 5x13. Khi vị hoàng hậu vỗ tay, bốn quân lính kỳ quặc liền đi tới và nằm xuống cạnh nhau, lấp kín bàn cờ thứ nhất. Alice thấy hai trong số những tên lính đó là hình thang vuông với ba cạnh bên có độ dài 5x5x3, trong khi hai tên còn lại là hình tam giác dài với hai cạnh góc vuông có độ dài 8x3.
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
“Nhìn đi này. Đây là 64” Hoàng hậu lại vỗ tay. Quân lính liền đứng dậy, đổi lại vị trí, và nằm xuống bàn cờ thứ hai. “Và đây là 65.”
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice rất kinh ngạc. Cô chắc chắn rằng quân lính không hề thay đổi kích thước hay hình dạng khi di chuyển từ bàn cờ này sang bàn khác. Nhưng về mặt toán học thì vị nữ hoàng chắc chắn đang gian lận. Liệu Alice có thể tìm ra được lỗi sai trước khi bị mất đầu không?
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
Hãy dừng video và đoán xem. Câu trả lời có trong 3
Answer in 2
Hãy dừng video và đoán xem. Câu trả lời có trong 2
Answer in 1
Hãy dừng video và đoán xem. Câu trả lời có trong 1
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Ngay khi điều tồi tệ sắp xảy đến với Alice, cô bỗng nhớ tới kiến thức hình học và nhìn lại lần nữa quân lính hình thang và hình tam giác đang nằm cạnh nhau. Trông thì có vẻ như chúng đã che kín một nửa hình chữ nhật, các cạnh của chúng tạo nên một đường chéo kéo dài từ góc này đến góc kia. Nếu điều đó là đúng thì độ dốc của các cạnh chéo của chúng phải bằng nhau. Nhưng khi cô nàng tính toán độ dốc với một công thức đã được chứng minh gọi là “cao chia dài”, thì một điều kỳ lạ xảy ra. Cạnh chéo của tên lính hình thang nhô lên cao 2 ô và dài 5 ô, thì độ dốc sẽ là 2/5, hoặc 0,4. Tuy nhiên, cạnh chéo của tên lính tam giác nhô lên cao 3 ô và dài 8 ô, tạo nên độ dốc là 3/8 hay 0,375. Chúng hoàn toàn không bằng nhau! Trước khi quân lính của hoàng hậu bắt cô, thì Alice đã uống một lượng thuốc thu nhỏ để xem xét kỹ hơn. Thật vậy. Có một khoảng rất nhỏ giữa các hình tam giác và hình thang vuông, nó tạo thành một hình bình hành mở rộng theo chiều dài của bàn cờ và thế chỗ cho một ô vuông bị thiếu.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
Điều gây tò mò hơn về những con số này là: chúng đều thuộc dãy số Fibonacci, với mỗi số là tổng của hai số trước nó. Các con số Fibonacci ở đây có hai tính chất: Thứ nhất, bình phương một số Fibonacci có giá trị nhiều hơn hoặc ít hơn một đơn vị so với tích của hai số Fibonacci liền trước và liền sau nó. Nói cách khác, 8 bình phương sẽ nhỏ hơn một đơn vị so với 5 nhân 13, trong khi 5 bình phương lớn hơn một đơn vị so với 3 nhân 8. Thứ hai, tỷ lệ giữa các số Fibonacci liên tiếp khá là tương đương nhau. Thực tế, nó gần giống nhau đến nỗi càng về cuối, nó sẽ hợp thành một tỷ lệ vàng. Điều đó cho phép vị hoàng hậu gian xảo tạo nên những đường chéo trông tương đối bằng nhau. Trên thực tế, Nữ Hoàng Đỏ có thể tạo ra những câu hỏi hóc búa tương tự với bốn số Fibonacci liên tiếp bất kỳ. Những con số càng lớn thì điều bất khả thi này lại càng có vẻ đúng. Nhưng theo lời của Lewis Carroll - tác giả của Alice ở Xứ Sở thần tiên và cũng là nhà toán học xuất sắc đã nghiên cứu về câu đố này - thì chúng ta không thể tin tưởng vào những điều bất khả thi.