After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
După multe aventuri în Țara Minunilor, Alice se găsea din nou în curtea temperamentalei Regine de Cupă. Este pe punctul de a trece prin grădină neobservată, când îi aude pe rege și regină certându-se.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
„Este destul de simplu,” spune regina. „64 e același cu 65 și cu asta basta.”
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Fără să se gândească, Alice intervine. „Prostii”, spune ea. „Dacă 64 ar fi același cu 65, atunci ar fi numai 65, fără 64.”
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
„Ce? Cum îndrăznești!” se înfurie regina. „O să îți demonstrez chiar acum, și apoi jos cu capul tău!”
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Fără a putea protesta, Alice este trasă înspre un teren cu două table de șah, un pătrat de 8 pe 8 și un dreptunghi de 5 pe 13. Când regina bate din palme, 4 soldați cu înfățișare ciudată se apropie și se așează unul lângă celălalt, acoperind prima tablă de șah. Alice vede că doi dintre ei sunt trapezi cu laturi nediagonale măsurând 5x5x3, iar ceilalți doi sunt triunghiuri lungi dreptunghice măsurând 8x3.
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
„Vezi, asta înseamnă 64.” Regina bate din palme din nou. Cărțile soldat se ridică, se rearanjează, și se întind deasupra celei de-a doua table de șah. „Și asta înseamnă 65.”
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice oftează. E sigură că soldații nu și-au schimbat dimensiunea sau forma când s-au mutat de pe o tablă pe alta. Dar este matematic sigur că regina trișează într-un fel. Poate Alice să-și dea seama ce e greșit, înainte să-și piardă capul?
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
Pune pauză și află singur. Răspunsul în 3
Answer in 2
Răspunsul în 2
Answer in 1
Răspunsul în 1
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Tocmai când lucrurile nu arătau prea bine pentru Alice, ea își amintește geometria, și se uită din nou la soldatul trapez și la soldatul triunghi care stăteau unul lângă celălalt. Ei păreau că acoperă exact jumătate din dreptunghi, muchiile lor formând o linie lungă care pornește de la un colț la altul. Dacă asta e adevărat, atunci pantele diagonalelor lor ar trebui să fie aceeași. Dar când calculează aceste pante folosind formula demonstrată și adevărată „cât urci pe cât înaintezi”, se întâmplă ceva foarte ciudat. Diagonala soldatului trapez are valoare de 2 supra 5, oferind o pantă de două cincimi sau 0,4. Totuși, diagonala soldatului triunghi are o valoare de 3 supra 8, oferind o pantă de trei optimi sau 0,375. Nu sunt deloc aceleași! Până ca soldații reginei să o poată opri, Alice bea puțin din poțiunea de micșorare pentru a arunca o privire mai amănunțită. Bineînțeles că e o diferență minusculă între triunghiuri și trapeze, formându-se un paralelogram care se întinde pe toată lungimea tablei și care justifică lipsa pătratului.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
Există ceva chiar mai curios în legătură cu aceste numere: toate fac parte din șirul lui Fibonacci, unde fiecare număr reprezintă suma celorlalte două anterioare. Numerele Fibonacci au două proprietăți de care ținem cont aici: prima, ridicând la pătrat un număr Fibonacci rezultă o valoare care e cu unu mai mare sau cu unu mai mic decât produsul numerelor Fibonacci pe oricare parte a lui. Cu alte cuvinte, 8 la pătrat e cu unu mai mic decât 5 ori 13, în timp ce 5 la pătrat e cu unu mai mult decât 3 ori 8. Și a doua, proporția dintre numerele Fibonacci consecutive e cam aceeași. Atât de asemănătoare încât reprezintă proporția de aur. Aceasta le permite regalităților viclene să construiască pante care arată înșelător de asemănător. De fapt, Regina de Cupă ar putea încropi o enigmă similară din oricare patru numere consecutive din șirul lui Fibonacci. Cu sunt mai mari, cu atât mai mult pare că imposibilul e adevărat. Dar în cuvintele lui Lewis Caroll, autor al lui „Alice în Țara Minunilor” și un matematician desăvârșit care a studiat acest mister, nu poți crede în lucrurile imposibile.