After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
Depois de muitas aventuras no País das Maravilhas, Alice volta a encontrar-se na corte da temperamental Rainha de Copas. Está quase a transpor o jardim, sem ser detetada, quando ouve a discussão do rei e da reinha.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
“É muito simples”, diz a rainha, “64 é o mesmo que 65, e acabou.”
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Sem pensar, Alice interpõe: “Disparate”, diz ela. “Se 64 fosse o mesmo que 65, seria 65 e já não era 64.”
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
“O quê? Como te atreves?” grita a rainha furiosa. “Vou provar-te agora mesmo e depois corto-te a cabeça!”
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Antes de poder protestar, Alice é arrastada para um pátio com dois padrões de xadrez — um quadrado de 8 por 8 e um retângulo de 5 por 13. Quando a rainha bate as palmas, aparecem quatro soldados de aspeto estranho e deitam-se ao lado uns dos outros, tapando o primeiro tabuleiro de xadrez. Alice vê que dois deles são trapezoides com os lados não diagonais medindo 5x5x3 enquanto os outros dois são triângulos retângulos em que os lados não diagonais medem 8x3
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
“Estás a ver, isto são 64.” A rainha volta a bater as palmas. Os soldados de cartão levantam-se e reorganizam-se, deitando-se sobre o outro tabuleiro de xadrez. “E isto são 65.”
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice suspira. Tem a certeza de que os soldados não mudaram de tamanho ou de forma quando passaram de um tabuleiro para o outro. Mas é uma certeza matemática de que a rainha está a fazer batota. Conseguirá Alice usar a cabeça para ver o que está errado — antes de ficar sem ela?
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Suspende o vídeo se queres resolver sozinho.
Answer in 2
Resposta em 3
Answer in 1
Resposta em 2
Resposta em 1
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Quando as coisas parecem não correr nada bem para Alice, ela lembra-se da geometria, e observa de novo um soldado trapezoide e um soldado triângulo, deitados ao lado um do outro. Parecem cobrir exatamente metade do retângulo, em que os lados formam uma longa linha correndo de um canto ao outro. Se isso fosse verdade, a inclinação dos lados diagonais devia ser a mesma. Mas quando ela calcula essa inclinação usando a experimentada e consagrada fórmula ”coeficiente angular” acontece uma coisa muito curiosa. A inclinação do lado diagonal do soldado trapezoide obtém-se dividindo 2 por 5. Assim, tem um declive de dois quintos, ou seja, 0,4. A diagonal do soldado triângulo, obtém-se dividindo 3 por 8, formando um declive de três oitavos, ou seja, 0,375. As inclinações não são nada iguais! Antes de os guardas poderem detê-la, Alice bebe um pouco da sua poção de encolher para olhar mais de perto. Claro que existe um intervalo minúsculo entre os triângulos e os trapezoides, formando um paralelogramo que se estende a todo o comprimento do tabuleiro e é o responsável pelo quadrado em falta.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
Há outra coisa ainda mais curiosa em relação a estes números: todos fazem parte da série Fibonacci, onde cada número é a soma dos dois números precedentes. Os números Fibonacci têm duas propriedades a ter em conta Primeiro, o quadrado de um número Fibonacci dá-nos um valor que é mais um ou menos um do que o produto dos números Fibonacci de cada lado de si mesmo. Por outras palavras, 8 ao quadrado será menos um do que 5 vezes 13, enquanto 5 ao quadrado será mais um do que 3 vezes 8. Segundo, a razão entre números Fibonacci sucessivos é muito semelhante. Tão semelhante que acaba por convergir na razão de ouro. É isso que permite que a realeza desonesta construa inclinações que parecem ilusoriamente semelhantes. A Rainha de Copás podia engendrar um quebra-cabeças semelhante a partir de quaisquer quatro números Fibonacci consecutivos. Quanto mais altos forem, mais parece que o impossível é verdade. Mas, nas palavras de Lewis Carroll — o autor de Alice no País das Maravilhas e um matemático brilhante que estudou este mesmo enigma — não podemos acreditar em coisas impossíveis.