After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
Na vele avonturen in Wonderland, vond Alice zichzelf terug op het hof van de temperamentvolle Hartenvrouw. Ze staat op het punt om ongezien de tuin over te steken als ze de koning en de koningin hoort kibbelen.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
“Het is heel simpel”, zegt de koningin. “64 is hetzelfde als 65, punt uit.”
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Zonder nadenken komt Alice ertussen. “Onzin,” zegt ze. “Als 64 hetzelfde was als 65, dan zou het 65 zijn en geen 64.”
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
“Wat? Hoe durf je!”, tiert de koningin. “Ik zal het gelijk bewijzen en dan gaat je kop eraf.”
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Voordat ze ertegenin kan gaan, wordt Alice naar een veld gesleept met twee schaakbordpatronen— een vierkant van 8 bij 8 en een rechthoek van 5 bij 13. Als de koningin in haar handen klapt, verschijnen vier vreemdsoortige soldaten die naast elkaar gaan liggen en het eerste schaakbord bedekken. Alice ziet dat twee ervan trapezoïden zijn met niet-diagonale zijden en 5x5x3 meten, terwijl de andere twee lange driehoeken met niet-diagonale zijden zijn van 8x3.
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
“Kijk, dit is 64.” De koningin klant weer in haar handen. De kaartsoldaten staan op, herschikken zich, en gaan op het andere schaakbord liggen. “En dat is 65.”
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice zucht. Ze weet zeker dat de soldaten niet zijn veranderd toen ze van van bord verplaatsten. Maar het is meetkundig gezien zeker dat de koningin ergens valsspeelt. Kan Alice met haar hoofd bevatten wat fout is voordat ze het kwijt is?
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
Pauzeer om het zelf uit te vinden. Antwoord in 3
Answer in 2
Antwoord in 2
Answer in 1
Antwoord in 1
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Net als het er voor Alice slecht uit ziet, herinnert ze zich haar meetkunde, en kijkt nog eens naar de trapezoïde- en driehoekssoldaten die naast elkaar liggen. Het lijkt alsof ze de halve rechthoek precies bedekken. Hun zijkanten vormen een lange lijn van hoek naar hoek. Dan zou de hellingshoek van hun schuine zijde gelijk moeten zijn. Maar als ze de helling uitrekent met de bewezen formule ‘stijging gedeeld door afstand’, gebeurt er iets geks. De schuine zijde van de trapezoïde-soldaat gaat 2 omhoog en 5 opzij, wat een hellingshoek geeft van twee vijfde of 0,4. Die van de driehoekige soldaat gaat echter 3 omhoog en 8 opzij, wat drie achtste geeft of 0,375. Ze zijn helemaal niet gelijk. Voordat de wacht haar kan tegenhouden drinkt Alice wat van haar krimpdrankje om het van dichtbij te bekijken. Zowaar zit er een spleetje tussen de driehoeken en trapezoïden, die een parallellogram vormen over de hele bordlengte. dat zorgt voor het missende vierkantje.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
Er is iets nog gekkers met deze getallen: ze zitten allemaal in de Fibonacci-reeks, waarbij elk getal de som is van de twee voorgaande. Fibonacci-getallen hebben twee opmerkelijke eigenschappen De eerste is dat z’n kwadraat een meer of minder is dan het product van de getallen aan beide zijden ervan in de reeks. Dus, het kwadraat van 8 is één minder dan 5 keer 13, terwijl 5 in het kwadraat één meer is dan 3 keer 8. Ten tweede lijkt de verhouding tussen opeenvolgende getallen veel op elkaar. Zoveel dat het in feite de verhouding van de gulden snede is. Daarom kunnen sluwe koninginnen hellingshoeken maken die bedrieglijk op elkaar lijken. De hartenkoningin zou zelfs een soortgelijk raadsel kunnen bedenken met elke vier opeenvolgende Fibonacci-getallen. Hoe hoger die zijn, hoe meer het lijkt of het onmogelijke mogelijk is. Zoals Lewis Carroll het echter zegt, schrijver van Alice in Wonderland en een onderlegd wiskundige die juist deze puzzel bestudeerd heeft: je moet geen onmogelijke dingen geloven.