After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
アリスは「不思議の国」での 様々な冒険を終えると かんしゃく持ちの ハートの女王の宮廷に戻っていました アリスは気付かれぬように 庭を通りすぎようとした時 王と女王の言い争いを耳にします 「簡単なことよ 64は65と同じ それだけのことよ」と女王は言います
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
アリスは思わず割り込んで 「とんでもない」と声を出しました
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
「64が65と同じだったら 64じゃなくて65ってことになるわ」 すると女王は 「何だって?この無礼者が!」と激怒します
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
「今すぐ証明し おまえを死刑にしてやる!」 反論する間もなく
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
アリスは目の数が 8x8と5x13のチェス盤がある所に 無理やり連れていかれます 女王が手を叩くと 奇妙な姿をした4人の兵士が近づき 互いにぴったり身を寄せて 1つ目のチェス盤に覆いかぶさります アリスは 兵士のうちの2人は 斜辺以外の辺の長さが5,5,3の台形で 他の2人は 斜辺以外の2辺の長さが8と3の 細長い直角三角形をしていると気づきました 「ごらん これは64よ」
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
女王はもう一度 手を叩きました カードの兵士たちは立ち上がって 隊列を組み直し 2つ目のチェス盤の上に移って 横になります 「そしてそちらが65」 アリスは息をのみます 確かに兵士たちはチェス盤を移る間に
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
大きさや形を変えた様子が 全くありません でも数学的に考えれば 女王が何らかの 仕掛けを講じたことは間違いありません 果たしてアリスは 命を落とすことになる前に トリックを見破れるでしょうか? ビデオを止めて考えてみましょう 正解まで3秒
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
正解まで2秒
Answer in 2
正解まで1秒
Answer in 1
思わしくない状況に置かれたまさにその時 アリスは幾何学を思い出し
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
並んで横になっている台形と三角形の兵士を もう一度見つめます 彼らは長方形のチェス盤の半分を きっちりと覆い 角から角まで 一本の長い辺を 作っているように見えます そうならば これらの図形の斜辺の傾きは 同じでなければなりません でも 彼女が傾きを求めるための 正確な公式 ― (高さ)÷(横の長さ) を使って計算してみると 実に興味深い結果が得られました 台形の兵士の方の斜辺は 横の長さ5に対し 高さは2なので 傾きは2/5 つまり0.4となります 一方 三角形の兵士の方は 横の長さ8に対し 高さは3で 傾きは3/8 つまり0.375になります 全く同じではありません! 女王が衛兵に命令して アリスを制止させる前に 彼女は体が縮む薬を一口飲んで もっと近くで見ようとします 案の定 三角形と台形の間には チェス盤の端から端まで伸びている 平行四辺形の隙間があり ちょうど無くなった正方形1個分の 大きさになっています これらの数字には さらに興味深いことがあります。
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
これらは全てフィボナッチ数列の一部で 各数字は 直前の 2つの数字の和になっています フィボナッチ数は 次の2つの性質を持っています 1つ目は フィボナッチ数を 1つ選んで自乗すると 前後の数の積より 1小さいか 1大きい数となっています つまり8の自乗は 5と13の積より1小さく 5の自乗は3と8の積より 1大きいといった具合です 2つ目の性質は 隣り合っている2つの フィボナッチ数の比はほぼ同じ数であることです なんと この比は 最終的に黄金比に収束します そんな訳で ずる賢い王族は 同じように見える傾きを 作ることが出来たのです 実際にハートの女王は任意の連続する 4つのフィボナッチ数を用いて 同様のなぞかけを ひねりだすこともできたでしょう 数字が大きくなる程 不可能なことがより真実に見えてきます しかし『不思議の国のアリス』の著者であり かつ まさにこのパズルを研究した ― 熟練した数学者でもある ルイス・キャロルの言葉によると 「人はあり得ないことなんて 信じることはできない」のです