After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
Dopo tante avventure nel Paese delle Meraviglie Alice si ritrova ancora una volta nella corte della volubile Regina di Cuori. Sta per attraversare il giardino inosservata, quando sente il re e la regina che discutono.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
“È semplice”, dice la regina. “64 equivale a 65, e basta.”
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Senza pensare, Alice si intromette dicendo: “Sciocchezze”. “Se 64 equivalesse a 65, allora sarebbe 65 e certo non 64”.
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
“Cosa? Come osi!“, sbuffa la regina. “Te lo proverò subito, poi ti farò tagliare la testa!”
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Prima che possa protestare, Alice è trascinata verso un campo con due modelli di scacchiera: un quadrato da 8 per 8 e un rettangolo da 5 per 13. Quando la regina batte le mani, quattro strani soldati si avvicinano e si sdraiano l’uno accanto all’altro, coprendo la prima scacchiera. Alice nota che due di loro sono trapezi i cui lati non obliqui misurano 5x5x3, mentre gli altri due sono lunghi triangoli con lati non obliqui di 8x3.
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
“Vedi, questa è di 64”. La regina batte di nuovo le mani. I soldati di carta si alzano, si ridispongono, e si sdraiano sulla seconda scacchiera. “E quella è di 65”.
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice sussulta. È sicura che i soldati non hanno mutato forma o dimensione muovendosi da una scacchiera all’altra. Ma è una certezza matematica che la regina stia in qualche modo barando. Alice può venire a capo del problema prima di perdere la testa?
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Mettete in pausa il video per provarci. Risposta in: 3
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Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Quando ormai tutto sembra perduto Alice ricorda la geometria e osserva di nuovo i soldati a forma di trapezio e triangolo sdraiati l’uno accanto all’altro. Sembrano coprire esattamente la metà del rettangolo formando con i bordi una lunga linea che va da un angolo all’altro. Se questo è vero, allora la pendenza dei loro lati diagonali dovrebbe essere la stessa. Ma quando calcola queste pendenze con la formula “rapporto tra spostamento verticale e orizzontale”, succede una cosa molto curiosa. Il lato diagonale del soldato trapezio è il risultato di 2 diviso 5, quindi ha una pendenza di due quinti, ossia 0,4. La diagonale del soldato triangolo, invece, è il risultato di 3 diviso 8. La sua pendenza quindi è di tre ottavi, ossia 0,375. Non sono per niente uguali! Prima che le guardie possano fermarla, Alice beve la pozione restringente per dare un’occhiata più da vicino. In effetti, c’è un minuscolo spazio tra i triangoli e i trapezi che forma un parallelogramma che copre l’intera lunghezza della tavola e corrisponde al quadrato mancante.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
C’è qualcosa di ancora più curioso riguardo a questi numeri: appartengono tutti alla serie di Fibonacci, in cui ogni numero è la somma dei due numeri precedenti. Questi numeri hanno due proprietà rilevanti qui: primo, elevati al quadrato danno un valore maggiore o minore di uno rispetto al prodotto dei numeri attigui. In altre parole, 8 al quadrato è inferiore di uno rispetto a 5 per 13, mentre 5 al quadrato è superiore di uno rispetto a 3 per 8. Secondo, il rapporto tra i numeri di Fibonacci successivi è talmente simile, che alla fine tende alla sezione aurea. Ciò permette ai subdoli reali di costruire pendenze apparentemente simili. Infatti, la Regina di Cuori potrebbe creare un rompicapo analogo usando una qualsiasi serie di 4 numeri di Fibonacci consecutivi. Più sono alti, più sembra che l’impossibile sia vero. Tuttavia, per dirla con Lewis Carroll, autore di Alice nel Paese delle Meraviglie ed esperto matematico che ha studiato questo stesso rompicapo, non si può credere a cose impossibili.