After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
Après de nombreuses aventures au Pays des Merveilles, Alice se retrouve de nouveau sur le terrain de la capricieuse Dame de Cœur. Elle s'apprête à traverser le jardin sans se faire voir, lorsqu'elle entend le Roi et la Dame se disputer.
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
« C'est pourtant simple, » dit la Dame de Cœur, « 64 est égal à 65, c'est tout. »
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
Sans réfléchir, Alice intervient : « N'importe quoi, » dit-elle. « Si 64 était égal à 65, alors ce serait 65, et pas 64.
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
- Quoi ? Comment oses-tu ! » se fâche la Dame. « Je vais te le prouver de ce pas, et ensuite on te coupera la tête ! »
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
Avant de pouvoir protester, Alice est emmenée dans un champ où sont dessinés deux échiquiers - un carré de 8 cases de côté, et un rectangle de 5 par 13. La Dame frappe des mains et quatre soldats aux formes surprenantes arrivent, s'allongent côté à côte, recouvrant le premier échiquier. Alice remarque que deux d'entre eux sont des trapèzes aux côtés mesurant 5 x 5 x 3, et que les deux autres sont des triangles longs aux côtés mesurant 8 x 3.
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
« Tu vois, cela fait 64. » La Dame frappe de nouveau dans les mains. Les Cartes Soldats se lèvent, se mélangent, et se couchent sur le second échiquier. « Et cela fait 65. »
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
Alice a le souffle coupé. Elle est sûre que les soldats n'ont pas changé de taille ou de forme en allant d'un échiquier à l'autre. Mais c'est une certitude mathématique, donc la Dame doit tricher d'une façon ou d'une autre.
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
Alice saura-t-elle résoudre le problème si elle ne veut pas perdre la tête ?
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Faites une pause maintenant pour le résoudre vous-même.
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Réponse dans 1 seconde.
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Au moment où Alice allait perdre espoir, elle s'est souvenue de ses leçons de géométrie, et regarde le trapèze et le triangle allongé côte à côte. On dirait qu'ils recouvrent parfaitement la moitié du rectangle, leurs côtés formant une ligne droite entre les deux coins. Si c'est le cas, alors l'inclinaison de leurs diagonales devrait être la même. Mais lorsqu'elle calcule ces inclinaisons, en utilisant la formule mathématique de calcul de la pente d'une droite, une chose très curieuse se produit. La pente du Soldat trapèze est de 2 sur 5, ce qui donne une inclinaison de 2/5, soit 0,4. La pente du Soldat triangle, elle, est de 3 sur 8, donc son inclinaison est de 3/8, soit 0,375. Ce ne sont pas les mêmes ! Avant que les gardes ne l'arrêtent, Alice boit un peu de sa potion rapetissante pour aller voir de plus près. Il y a en effet un minuscule espace entre les triangles et les trapèzes, formant un parallélogramme qui s'étend entre chaque coin du rectangle, et équivaut au carré manquant.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.
Il y a quelque chose d'encore plus curieux à propos de ces nombres : ils font tous partie de la suite de Fibonacci, où chaque nombre est la somme des deux qui le précèdent. Les nombres Fibonacci ont deux propriétés qui nous intéressent ici : d'abord, en mettant au carré un nombre Fibonacci, on obtient une valeur + ou - 1 du produit des nombres Fibonacci de chaque côté du nombre en question. Autrement dit, 8² = (5 x 13) - 1, et 5² = (3 x 8) + 1. Ensuite, la proportion entre les nombres Fibonacci qui se suivent est similaire. Tellement similaire d'ailleurs, qu'elle converge et forme la proportion divine. C'est ce qui permet aux monarques mesquins de construire des pentes qui paraissent semblables. La Dame de Cœur pourrait en fait bricoler des énigmes similaires basées sur n'importe quelle suite de quatre nombres Fibonacci. Plus les nombres sont grands, plus l'impossible semblera véridique. Mais pour citer Lewis Carroll - l'auteur d'Alice au Pays des Merveilles et mathématicien accompli ayant étudié cette énigme - personne ne peut croire quelque chose d'impossible.