Nach vielen Abenteuern im Wunderland findet sich Alice erneut am Hof der launischen Herzkönigin wieder. Sie will gerade unbemerkt den Garten durchqueren, als sie Zeugin eines Streits zwischen König und Königin wird.
After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
„Das ist ganz einfach“, sagt die Königin. „64 ist dasselbe wie 65, und damit basta.“
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
Ohne nachzudenken, mischt sich Alice ein. „Unsinn“, sagt sie. „Wenn 64 dasselbe wäre wie 65, wäre es 65 und nicht 64.“
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
„Was? Wie wagst du es?“, schnaubt die Königin. „Ich beweise es gleich und dann ab mit deinem Kopf!“
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
Ehe Alice sich wehren kann, zerrt man sie zu einem Feld mit zwei Schachbrettmustern: einem Quadrat mit 8 x 8 Feldern und einem Rechteck mit 5 x 13 Feldern. Als die Königin in die Hände klatscht, erscheinen vier merkwürdige Soldaten, legen sich nebeneinander hin und bedecken so das erste Schachbrett. Alice sieht: Zwei davon sind Trapeze mit nicht-diagonalen Seiten von 5 x 5 x 3. Die anderen beiden sind lange Dreiecke mit nicht diagonalen Seiten von 8 x 3.
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
„Schau, das ist 64.“ Die Königin klatscht wieder in die Hände. Die Kartensoldaten stehen auf, ordnen sich neu und legen sich auf das andere Schachbrett. „Und das ist 65.“
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
Alice japst. Sie ist sicher: Größe und Form der Soldaten haben sich beim Transfer auf das andere Brett nicht verändert. Aber es ist eine mathematische Tatsache, dass die Königin irgendwie schummelt. Findet Alice den Fehler oder geht es ihr um Kopf und Kragen?
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
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Es sieht nicht gut aus für Alice -- doch sie denkt an den Geometrieunterricht und betrachtet erneut Trapez- und Dreieck-Soldaten, die nebeneinander liegen. Sie scheinen genau die Hälfte des Rechtecks zu bedecken und ihre Ränder bilden eine lange Linie von Ecke zu Ecke. In diesem Fall müssten die Steigungen ihrer Diagonalen gleich sein. Aber als sie zur Berechnung der Steigung die altbewährte Formel “Rise over Run” anwendet, passiert etwas höchst Merkwürdiges. Die Diagonale des Trapez-Soldaten geht 2 nach oben und ist 5 lang, wodurch die Steigung zwei Fünftel oder 0,4 beträgt. Die Diagonale des Dreieck-Soldaten dagegen geht 3 nach oben und ist 8 lang, wordurch die Steigung drei Achtel oder 0.375 beträgt. Sie sind überhaupt nicht gleich! Ehe die Wachen der Königin eingreifen können, schluckt Alice etwas Schrumpftrank, um genauer hinschauen zu können. Tatsächlich gibt es eine winzige Lücke zwischen den Dreiecken und den Trapezen in Form eines Parallelogramms, das sich über das ganze Brett erstreckt und das fehlende Quadrat erklärt.
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board and accounts for the missing square.
Diese Zahlen haben es aber ganz besonders in sich: Sie gehören alle zur Fibonacci-Folge, in der jede Zahl die Summe der zwei vorherigen Zahlen bildet. Die Fibonacci-Zahlen haben zwei wichtige Eigenschaften: Erstens: Eine Fibonacci-Zahl zum Quadrat ergibt einen Wert, der um eins größer oder kleiner ist als das Produkt der Fibonacci-Zahlen auf beiden Seiten der Zahl. Anders gesagt: 8 zum Quadrat ist eins weniger als 5 mal 13, und 5 zum Quadrat ist eins mehr als 3 mal 8. Zweitens: Aufeinanderfolgende Fibonacci- Zahlen haben ein ähnliches Verhältnis. So ähnlich, dass es sich schließlich dem Goldenen Schnitt annähert. Dadurch können hinterhältige Königinnen Steigungen erzeugen, die täuschend ähnlich aussehen. In der Tat könnte die Herzkönigin ein ähnliches Rätsel aus vier beliebigen aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen erstellen. Je höher die Zahlen, desto wahrer scheint das Unmögliche. Aber mit den Worten von Lewis Carroll, Autor von “Alice im Wunderland” und begnadeter Mathematiker, der genau dieses Rätsel untersucht hat: Unmögliches kann man nicht glauben.
There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle— one can’t believe impossible things.