بعد الكثير من المغامرات في بلاد العجائب وجدت أليس نفسها مرة أخرى في محكمة ملكة القلوب المزاجية. وعندما كانت على وشك اجتياز الحديقة دون أن يُكتشف أمرها سمعت الملك والملكة يتجادلان
After many adventures in Wonderland, Alice has once again found herself in the court of the temperamental Queen of Hearts. She’s about to pass through the garden undetected, when she overhears the king and queen arguing.
قالت الملكة: "الأمر بسيط، 64 تساوي 65 وهذه نهاية الحديث."
“It’s quite simple,” says the queen. “64 is the same as 65, and that’s that.”
اعترضت أليس دون أي تفكير قائلةً: "هذا هراء." "إن كانت 64 تساوي 65 عندها ستكون 65 وليست 64 على الإطلاق."
Without thinking, Alice interjects. “Nonsense,” she says. “If 64 were the same as 65, then it would be 65 and not 64 at all.”
قالت الملكة بغضب: "كيف تجرئين!" "سأثبت لك ذلك فوراً لتبعدي هذه الفكرة عن ذهنك!"
“What? How dare you!” the queen huffs. “I’ll prove it right now, and then it’s off with your head!”
وقبل أن تتمكن من الاحتجاج جُرَّت أليس باتجاه حقل فيه لوحا شطرنج أحدهم مربع بطول وعرض 8 والآخر مستطيل بعرض 5 وطول 13. عندما صفقت الملكة بيديها افترب أربع جنود غريبي الشكل واستلقوا بجانب بعضهم البعض مُغَطّين أول لوح شطرنج. لاحظت أليس أن اثنين منهما بشكل شبه منحرف قائم الزاوية أبعاده 5×5×3 بينما كان الاثنان الآخران بشكل مثلث طويل قائم أبعاده 8×3.
Before she can protest, Alice is dragged toward a field with two chessboard patterns— an 8 by 8 square and a 5 by 13 rectangle. As the queen claps her hands, four odd-looking soldiers approach and lie down next to each other, covering the first chessboard. Alice sees that two of them are trapezoids with non-diagonal sides measuring 5x5x3, while the other two are long triangles with non-diagonal sides measuring 8x3.
"أترين، هذا يعادل 64" صفقت الملكة بيديها مرة أخرى. نهض جنود البطاقات وأعادوا ترتيب أنفسهم واستلقوا على لوح الشطرنج الثاني. "وهذه تعادل 65."
“See, this is 64.” The queen claps her hands again. The card soldiers get up, rearrange themselves, and lie down atop the second chessboard. “And that is 65."
شهقت أليس فهي متأكدة أن الجنود لم يغيروا من حجمهم أو شكلهم عندما انتقلوا من اللوح الأول للثاني. لكنه من المؤكد رياضياً أن الملكة تغش بطريقة أو بأخرى هل يمكن لأليس أن تفهم ما حصل قبل أن تخسر؟
Alice gasps. She’s certain the soldiers didn’t change size or shape moving from one board to the other. But it’s a mathematical certainty that the queen must be cheating somehow. Can Alice wrap her head around what’s wrong— before she loses it?
أوقف الفيديو إذا أردت أن تكتشف الحل بنفسك ستظهر الإجابة بعد 3 ثوان.
Pause the video to figure it out yourself. Answer in 3.
ثانيتين.
Answer in 2
ثانية واحدة.
Answer in 1
لم تكن الأمور تسير على ما يرام في البداية لكنها تذكرت ما تعرفه في الهندسة، وأمعنت النظر مرة أخرى في الجنود ذوي الشكل شبه المنحرف والمثلث وهي مصطفة بجانب بعضها البعض. يبدو أنهم يغطون نصف المستطيل تماماً حيث تشكل حوافهم خطاً طويلاً ممتداً من الزاوية للزاوية، يجب -إن كان هذا صحيحاً- أن يكون ميل ضلعهم المائلة متساوياً. لكن عندما تحسب هذه الميول باستخدام المعادلة المجربة والصحيحة للميل "قسمة العينات على السينات" يحدث أمر غريب جداً. فالضلع المائل للجندي شبه المنحرف يساوي اثنان على خمسة أي أن ميله يعادل خُمسان أي 0.4. أما الضلع المائل للجندي المثلث فميله يساوي ثلاثة على ثمانية أي أن ميله يساوي ثلاثة أثمان أي 0.375. ليسا متماثلَين على الإطلاق! قبل أن يوقفها حراس الملكة تشرب أليس القليل من دواء التقليص لتلقي نظرة عن قرب. هناك بالتأكيد فراغ صغير بين المثلثات وشبه المنحرفات، على شكل متوازي أضلاع ممتد على طول اللوح وتعادل مساحته مساحة المربع الناقص.
Just as things aren’t looking too good for Alice, she remembers her geometry, and looks again at the trapezoid and triangle soldier lying next to each other. They look like they cover exactly half of the rectangle, their edges forming one long line running from corner to corner. If that’s true, then the slopes of their diagonal sides should be the same. But when she calculates these slopes using the tried and true formula "rise over run," a most curious thing happens. The trapezoid soldier’s diagonal side goes up 2 and over 5, giving it a slope of two fifths, or 0.4. The triangle soldier’s diagonal, however, goes up 3 and over 8, making its slope three eights, or 0.375. They’re not the same at all! Before the queen’s guards can stop her, Alice drinks a bit of her shrinking potion to go in for a closer look. Sure enough, there’s a miniscule gap between the triangles and trapezoids, forming a parallelogram that stretches the entire length of the board
هناك شيء أغرب بهذه الأرقام فكلها من ضمن متسلسلة فيبوناتشي، حيث يمثل كل رقم مجموع الرقمين السابقين. لأرقام فيبوناتشي خاصيتين، أما الأولى المهمة في قصتنا هذه هي أن مُربّع رقم فيبوناتشي أكثر بواحد أو أقل بواحد من ناتج ضرب رقمي فيبوناتشي الأكبر والأصغر من هذا الرقم. فمثلاً مربع الرقم 8 أقل بواحد من ناتج ضرب 5 بـ13. بينما مربع الـ5 أكثر بواحد من ناتج ضرب 3 بـ8. الميزة الثانية هي أن النسبة بين أرقام فيبوناتشي المتتالية متقاربة كثيراً. بل هي متقاربة كثيراً من بعضها وتُقارب جميعها النسبة الذهبية أيضاً. وهذا ما يُمكّن الحكام المخادعين من رسم خطوط مائلة تخدعك لتبدو متشابهة. يمكن للملكة -في الحقيقة- أن تُطبّق هذه الخدعة من أي أربعة أرقام فيبوناتشي متتالية. وكلما كانت الأرقام أكبر بدا أن المستحيل ممكن. لكن وكما يقول لويس كارول وهو مؤلف أليس في بلاد العجائب ورياضي بارع درس هذه الأحجية بالذات: لا يمكن لأحد أن يؤمن بالمستحيل.
and accounts for the missing square. There’s something even more curious about these numbers: they’re all part of the Fibonacci series, where each number is the sum of the two preceding ones. Fibonacci numbers have two properties that factor in here: first, squaring a Fibonacci number gives you a value that’s one more or one less than the product of the Fibonacci numbers on either side of it. In other words, 8 squared is one less than 5 times 13, while 5 squared is one more than 3 times 8. And second, the ratio between successive Fibonacci numbers is quite similar. So similar, in fact, that it eventually converges on the golden ratio. That’s what allows devious royals to construct slopes that look deceptively similar. In fact, the Queen of Hearts could cobble together an analogous conundrum out of any four consecutive Fibonacci numbers. The higher they go, the more it seems like the impossible is true. But in the words of Lewis Carroll— author of Alice in Wonderland and an accomplished mathematician who studied this very puzzle—