(מוסיקה)
How many times can you fold a piece of paper? Assume that one had a piece of paper that was very fine, like the kind they typically use to print the Bible. In reality, it seems like a piece of silk. To qualify these ideas, let's say you have a paper that's one-thousandth of a centimeter in thickness. That is 10 to the power of minus three centimeters, which equals .001 centimeters. Let's also assume that you have a big piece of paper, like a page out of the newspaper. Now we begin to fold it in half. How many times do you think it could be folded like that? And another question: If you could fold the paper over and over, as many times as you wish, say 30 times, what would you imagine the thickness of the paper would be then? Before you move on, I encourage you to actually think about a possible answer to this question. OK. After we have folded the paper once, it is now two thousandths of a centimeter in thickness. If we fold it in half once again, the paper will become four thousandths of a centimeter. With every fold we make, the paper doubles in thickness. And if we continue to fold it again and again, always in half, we would confront the following situation after 10 folds. Two to the power of 10, meaning that you multiply two by itself 10 times, is one thousand and 24 thousandths of a centimeter, which is a little bit over one centimeter. Assume we continue folding the paper in half. What will happen then? If we fold it 17 times, we'll get a thickness of two to the power of 17, which is 131 centimeters, and that equals just over four feet. If we were able to fold it 25 times, then we would get two to the power of 25, which is 33,554 centimeters, just over 1,100 feet. That would make it almost as tall as the Empire State Building. It's worthwhile to stop here and reflect for a moment. Folding a paper in half, even a paper as fine as that of the Bible, 25 times would give us a paper almost a quarter of a mile. What do we learn? This type of growth is called exponential growth, and as you see, just by folding a paper we can go very far, but very fast too. Summarizing, if we fold a paper 25 times, the thickness is almost a quarter of a mile. 30 times, the thickness reaches 6.5 miles, which is about the average height that planes fly. 40 times, the thickness is nearly 7,000 miles, or the average GPS satellite's orbit. 48 times, the thickness is way over one million miles. Now, if you think that the distance between the Earth and the Moon is less than 250,000 miles, then starting with a piece of Bible paper and folding it 45 times, we get to the Moon. And if we double it one more time, we get back to Earth.
כמה פעמים תוכלו לקפל חתיכת נייר? הניחו שבידך חתיכת נייר מאוד עדינה, כזאת שלרוב הדפיסו בה את התנ"ך. במציאות, היא נראית כפיסת משי. לאפיין את המושגים האלה בואו נגיד שיש נייר שעוביו אלפית הסנטימטר. זה 10 בחזקת מינוס 3 סנטימטרים, שזה שווה ל- 0.001 סנטימטרים. בואו נניח שיש גם חתיכה גדולה של נייר, כמו עמוד מהעיתון. כעת אנו מתחילים לקפל לחצי. כמה פעמים לדעתכם ניתן לקפלו ככה? ושאלה נוספת: לו יכולתם לקפל נייר שוב ושוב, ככל שתחפצו, נגיד 30 פעמים, מה תשערו שעוביו של הנייר יהיה אז? עוד לפני שתתקדמו, אני מעודד אתכם לחשוב באמת על פתרון אפשרי לשאלה זו. בסדר. לאחר שקפלנו את הנייר פעם אחת, עוביו שתי אלפיות הסנטימטר. אם שוב נקפלו לחצי הנייר יהיה ארבע אלפיות הסנטימטר. בכל קיפול שנבצע, הנייר מכפיל את עוביו. ואם נוסיף לקפל, שוב ושוב, תמיד בחצי, נעמוד בפני המצב הבא לאחר 10 קיפולים. שתיים בחזקת עשר, שפרושו שמכפילים שתיים בעצמו עשר פעמיים, והוא אלף ו-24 אלפיות הסנטימטר, שהוא מעט יותר מסנטימטר. הניחו שנוסיף לקפל את הנייר לחצי. מה יקרה אז? אם נקפלו 17 פעמים, נקבל עובי של 2 בחזקת 17, שהוא 131 סנטימטרים, וזה קצת יותר מארבע רגל. לו יכולנו לקפלו 25 פעמים, אז היינו מקבלים 2 בחזקת 25, שהוא 33,554 סנטימטרים, קצת למעלה מ 1,100 רגל. וזה היה גבוה כמעט כמו בניין האמפייר סטייט. שווה לעצור כאן לרגע ולהרהר. לקפל נייר לחצי, ולו נייר עדין כעמוד מהתנ"ך, 25 פעמים, היה נותן לנו נייר בעובי כ-400 מטר. מה אנו למדים? גידול מסוג זה נקרה גידול מעריכי, וכפי שאתם רואים, ולו רק מקיפול נייר, אנו מסוגלים להגיע רחוק מאוד אך גם מהר מאוד. לסיכום, אם נקפל נייר 25 פעמים, עוביו יהיה בערך 400 מטר. 30 פעמים, עוביו נוסק לכמעט 10.5 קילומטרים, שזה בערך הגובה הממוצע של נתיבי טיסה של מטוסים. 40 פעמים, העובי יהיה 11,200 קילומטרים בקירוב, או גובה מעופו של לווין GPS. 48 פעמים, העובי הרבה יותר מ-1,600,000 קילומטרים. עכשיו, אם אתם חושבים שהמרחק בין כדור הארץ לבין הירח הוא פחות מ-400,000 קילומטרים, החל בפיסת עמוד תנ"כי ובקיפולו 45 פעמים, נוכל להגיע לירח. ואם נקפלו שוב עוד פעם נוספת, נחזור לכדור הארץ.